Анатолий Ляпидевский родился 10 (23) марта 1908 года в селе Белая Глина Ставропольской губернии (ныне Краснодарского края), в семье священника.
В 1927 году Ляпидевский окончил Ленинградскую военно-теоретическую школу ВВС, а в 1928 году — Севастопольскую школу морских лётчиков.
В 1934 году Ляпидевский принимал участие в спасении «челюскинцев». Для эвакуации людей со льдины, разными маршрутами были направлены несколько групп летчиков, имевших опыт полетов в сложных метеоусловиях. Ближе всех оказался экипаж летчика Анатолия Ляпидевского. Именно там, на Крайнем Севере, и застал летчика приказ вылететь на помощь «челюскинцам», и Ляпидевский даже не обдумывая такого приказа, сказал своему экипажу: «летим спасать «челюскинцев!».
Экипажу АНТ-4, в который помимо командира самолета Анатолия Ляпидевского входили второй летчик Е.М. Конкин, штурман Л.В. Петров и бортмеханик М.А. Руковской, предстояло не просто найти дрейфующую льдину, но и посадить на импровизированный аэродром тяжелый самолет, чего еще никому в мире не удавалось. Помимо всего прочего, летчики боролись с непогодой – сильнейшими морозами и ветрами.
Экипаж Ляпидевского первым прибыл в Уэлен на мыс Дежнева, где была организована база по спасению «челюскинцев». Это был первый его полет на Север. Оттуда они и должны были вылететь на поиски и спасение терпящих бедствие. Время на основательную подготовку к поисковой экспедиции не было – на кону стояли жизни людей. Ведь на помощь «челюскинцам» ринулись многие летчики, но им не удалось даже долететь до Уэлена, кто разбил самолет, кто не смог по техническим причинам лететь дальше.
Экипаж Ляпидевского примерно представлял, где нужно было искать лагерь «челюскинцев», но все это были предположения, и искать пришлось все же «вслепую». Но они никак не могли вылететь на поиски: «трудно описать наши переживания. Бушует пурга, ветер с дьявольским свистом издевается над нашим бессилием. Даже на собаках ездить нельзя – не то, чтобы летать! Локти готовы грызть от досады!», — вспоминал Ляпидевский.
Более того, для того чтобы завести двигатели необходимо было разогреть масло в них, а разогревали его открытым огнем и затем заливали в картеры двигателей. Да и грелась вода и масло очень долго. Причем, заводились двигатели далеко не одновременно, бывало частенько так: один уже завелся, а другой долго не мог запуститься, в итоге – не хватало банального светового дня для полета на поиски. И так каждый день, с каждым двигателем.
А.В. Ляпидевский совершил 29 поисковых полётов в пургу и в ненастье, прежде чем 5 марта 1934 года, обнаружив их лагерь, совершил посадку на льдину и вывез оттуда 12 человек — 10 женщин и 2 ребенка.
За мужество и героизм, проявленные при спасении челюскинцев, Ляпидевскому Анатолию Васильевичу 20 апреля 1934 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина (№ 515). 4 ноября 1939 года, при вручении медалей «Золотая Звезда», ему была вручена медаль № 1.